Question

已知函數f（x）=|x-1|+|x+1|；
（Ⅰ）求不等式f（x）≥3的解集；
（Ⅱ）若關于x的不等式在f（x）≥a²-a上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）通過對x與±1的關系分類討論即可去掉絕對值符號，解出即可；
（II）由（I）可知：在R上f（x）的最小值，而關于x的不等式在f（x）≥a²-a上恒成立?a²-a≤[f（x）]_min．解出即可．

解答：解：（I）∵f（x）=

-2x，x≤-1 2，-1＜x≤1 2x，x＞1

，
∴f（x）≥3等價于

x≤-1 -2x≥3

或

-1＜x≤1 2≥3

或

x＞1 2x≥3

，
解得x≤-

3

2

，∅，x≥

3

2

．
故不等式f（x）≥3的解集是{x|x≤-

3

2

或x≥

3

2

}．
（II）由（I）可知：在R上，[f（x）]_min=2．
∴關于x的不等式在f（x）≥a²-a上恒成立?a²-a≤[f（x）]_min=2．
∴a²-a-2≤0，解得-1≤a≤2．
∴實數a的取值范圍是[-1，2]．

點評：熟練掌握分類討論方法解含絕對值符號的不等式、恒成立問題等價轉化方法等是解題的關鍵．