Question

設(shè)a∈[-2，0]，已知函數(shù)f（x）=

x3-(a+5)x，x≤0 x3- a+3 2 x2+ax，x＞0

．
（Ⅰ） 證明f（x）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；
（Ⅱ） 曲線y=f（x）在點(diǎn)P_i（x_i，f（x_i））（i=1，2，3）處的切線相互平行，且滿足x₁＜x₂＜x₃（x₁x₂x₃≠0），試求x₂、x₃、a所滿足的關(guān)系式；
（Ⅲ）在第（Ⅱ）問(wèn)的條件下，證明x1+x2+x3＞-

1

3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，可得函數(shù)f₁（x）在區(qū)間（-1，0]內(nèi)單調(diào)遞減；函數(shù)f₂（x）在區(qū)間[0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，即可得出結(jié)論；
（II）因?yàn)榍�線y=f（x）在點(diǎn)P_i（x_i，f（x_i））（i=1，2，3）處的切線互相平行，所以x₁，x₂，x₃互不相等，且f'（x₁）=f'（x₂）=f'（x₃），所以x₁＜0＜x₂＜x₃，由3x12-(a+5)=3x22-(a+3)x2+a=3x32-(a+3)x3+a，可得x₂、x₃、a所滿足的關(guān)系式；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=3x²-（a+3）x+a，則g(

a+3

6

)＜g(x2)＜g(0)=a，可得x1+x2+x3＞-

2a+5 3

+

a+3

3

，換元，即可得到結(jié)論．

解答：（I）證明：設(shè)函數(shù)f1(x)=x3-(a+5)x（x≤0），f2(x)=x3-

a+3

2

x2+ax（x≥0），
①f1′(x)=3x2-(a+5)，由a∈[-2，0]，從而當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f1′(x)=3x2-(a+5)＜3-a-5≤0，
所以函數(shù)f₁（x）在區(qū)間（-1，0]內(nèi)單調(diào)遞減；
②f2′(x)=3x2-(a+3)x+a=(3x-a)(x-1)，由于a∈[-2，0]，所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f₂'（x）＜0；
當(dāng)x＞1時(shí)，f₂'（x）＞0．即函數(shù)f₂（x）在區(qū)間[0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；
綜合①，②及f₁（0）=f₂（0），可知函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；
（II）解：由（I）知f'（x）在區(qū)間（-∞，0）內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(0，

a+3

6

)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(

a+3

6

，+∞)內(nèi)單調(diào)遞增．
因?yàn)榍�線y=f（x）在點(diǎn)P_i（x_i，f（x_i））（i=1，2，3）處的切線互相平行，
所以x₁，x₂，x₃互不相等，且f'（x₁）=f'（x₂）=f'（x₃），
所以x₁＜0＜x₂＜x₃，
由3x12-(a+5)=3x22-(a+3)x2+a=3x32-(a+3)x3+a，
可得3x22-3x32-(a+3)(x2-x3)=0，解得x2+x3=

a+3

3

，且0＜x2＜

a+3

6

＜x3；
（Ⅲ）證明：設(shè)g（x）=3x²-（a+3）x+a，則g(

a+3

6

)＜g(x2)＜g(0)=a．
由3x12-(a+5)=g(x2)＜a，解得-

2a+5 3

＜x1＜0，
所以x1+x2+x3＞-

2a+5 3

+

a+3

3

，
設(shè)t=

2a+5 3

，則a=

3t2-5

2

，
因?yàn)閍∈[-2，0]，所以t∈[

3

3

，

15

3

]，
故x1+x2+x3＞-t+

3t2+1

6

=

1

2

(t-1)2-

1

3

≥-

1

3

，
即x1+x2+x3＞-

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用．考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，有難度．