Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是AA₁的中點，點N位于AB上．
（Ⅰ）問當

AN

NB

為何值時，MN⊥MC₁
（Ⅱ）當N為AB中點時，求直線NC₁與平面ABB₁A₁所成角的正切值．

Answer 1

分析：（I）連接MB₁，NB₁，由正方體的幾何特征，我們可得MN⊥MB₁，設正方體的棱長為1，AN=x，由勾股定理，可以得到一個關于x的方程，解方程求出x值，即可得到答案．
（II）連接NC₁，NB₁，由正方體的幾何特征，可得∠C₁NB₁即為直線NC₁與平面ABB₁A₁所成角，解△NB₁C₁即可得到直線NC₁與平面ABB₁A₁所成角的正切值．

解答：解：（Ⅰ）連接MB₁，NB₁，∵C₁B₁⊥平面ABB₁A₁，∴C₁B₁⊥MN，若MN⊥MC₁，則MN⊥平面MC₁B₁⇒MN⊥MB₁，
在平面ABB₁A₁內，設正方體的棱長為1，AN=x，由于MN²+MB₁²=NB₁²，
可得：x2+

1

4

+1+

1

4

=(1-x)2+1⇒x=

1

4

，故

AN

NB

=

1

3

．…（8分）
（Ⅱ）連接NC₁，NB₁∵C₁B₁⊥平面ABB₁A₁，
知∠C₁NB₁即為直線NC₁與平面ABB₁A₁所成角．設正方體的棱長為1，
在△NB₁C₁中，∵NB1=

5

2

∴tan∠C1NB1=

C1B1

NB1

=

2 5

5

…（15分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，直線與平面垂直的性質，其中（1）的關鍵是根據勾股定理，構造一個關于x的方程，（2）的關鍵是證得∠C₁NB₁即為直線NC₁與平面ABB₁A₁所成角．