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函數f（x）=x³+ax²+bx在x=-1處取得極值，且f（x）的圖象在P（1，f（1））處的切線平行于直線y=8x．
（I）求函數f（x）解要式和極值；
（II）對任意α，β∈R，求證 $數學公式$ ．

解：（I）由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，
∴f（x）=x³+2x²+x．
則f'（x）=3x²+4x+1，由f'（x）=0得x=-1或x=- $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ ．
（II）∵α，β∈R，∴-1≤sinα≤1，-1≤cosβ≤1，
由（I）知f（x）在[-1，1]上的最大，最小值分別為 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（I）由 $\text{[math]}$ 解出a 和 b 的值，可得函數f（x）的解析式以及其導數的解析式，
求出導數等于0的根，考查導數在根的兩側的符號，求出極值．
（II）結合（I）求出 f（x）在[-1，1]上的最大和最小值，|f（sinα）-f（cosβ）|小于或等于
最大值減去最小值．
點評：本題考查函數在某處取的價值的條件，導數與切線斜率的關系，求函數在閉區間上的最值的方法．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=-x³+ax²+bx+c在（-∞，0）上是減函數，在（0，1）上是增函數，函數f（x）在R上有三個零點．
（1）求b的值；
（2）若1是其中一個零點，求f（2）的取值范圍；
（3）若a=1，g（x）=f′（x）+3x²+lnx，試問過點（2，5）可作多少條直線與曲線y=g（x）相切？請說明理由．

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（2007•東城區一模）已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c，曲線y=f（x）在點x=1處的切線l不過第四象限且斜率為3，又坐標原點到切線l的距離為

，若x=

時，y=f（x）有極值．
（1）求a，b，c的值；
（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值和最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•寧波模擬）已知函數f（x）=x³+ax²-a²x+2，a∈R．
（1）若a＜0時，試求函數y=f（x）的單調遞減區間；
（2）若a=0，且曲線y=f（x）在點A、B（A、B不重合）處切線的交點位于直線x=2上，證明：A、B 兩點的橫坐標之和小于4；
（3）如果對于一切x₁、x₂、x₃∈[0，1]，總存在以f（x₁）、f（x₂）、f（x₃）為三邊長的三角形，試求正實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=x³-3ax+b（a≠0），已知曲線y=f（x）在點（2，f（x））處在直線y=8相切．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間與極值點．

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科目：高中數學 來源： 題型：

對于函數f（x）=x³+ax²-x+1的極值情況，4位同學有下列說法：甲：該函數必有2個極值；乙：該函數的極大值必大于1；丙：該函數的極小值必小于1；丁：方程f（x）=0一定有三個不等的實數根．這四種說法中，正確的個數是（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

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函數f（x）=x3+ax2+bx在x=-1處取得極值，且f（x）的圖象在P（1，f（1））處的切線平行于直線y=8x．（I）求函數f（x）解要式和極值；（II）對任意α，β∈R，求證．

函數f（x）=x³+ax²+bx在x=-1處取得極值，且f（x）的圖象在P（1，f（1））處的切線平行于直線y=8x．
（I）求函數f（x）解要式和極值；
（II）對任意α，β∈R，求證 $數學公式$ ．