Question

已知點列B₁(1,y₁)、B₂(2,y₂)、…、B_n(n,y_n)（n∈N）    順次為一次函數圖象上高考資源網的點，   點列A₁(x₁,0)、A₂(x₂,0)、…、A_n(x_n,0)（n∈N）    順次為x軸正半軸上高考資源網的點，其中x₁=a（0＜a＜1），    對于任意n∈N，點A_n、B_n、A_n+1構成以

    B_n為頂點的等腰三角形。

⑴求{y_n}的通項公式，且證明{y_n}是等差數列；

⑵試判斷x_n+2-x_n是否為同一常數（不必證明），并求出數列{x_n}的通項公式；

⑶在上高考資源網述等腰三角形A_nB_nA_n+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此時a值；

若不存在， 請說明理由。

Answer 1

（1）    （2）x_n=  

⑶存在直角三形，此時a的值為、、

解析:

（1）(n??N),y_n+1-y_n=,∴{y_n}為等差數列 (4??)

   （2）x_n+1-x_n=2為常數 (6??) ∴x₁,x₃,x₅,…,x_2n-1及x₂,x₄,x_6,,…，x_2n都是公差為2的等差數列，

        ∴x_2n-1=x₁+2(n-1)=2n-2+a，x_2n=x₂+2(n-1)=2-a+2n-2=2n-a，

        ∴x_n=  (10??)

   （3）要使A_nB_nA_n+1為直角三形，則 |A_nA_n+1|=2=2()??x_n+1-x_n=2()

        當n為奇數時，x_n+1=n+1-a，x_n=n+a-1,∴x_n+1-x_n=2(1-a).

        ??2(1-a)=2() ??a=(n為奇數，0＜a＜1)  (*)

        取n=1，得a=，取n=3，得a=，若n≥5，則(*)無解； (14??)

        當偶數時，x_n+1=n+a，x_n=n-a，∴x_n+1-x_n=2a.

        ∴2a=2()??a=(n為偶數，0＜a＜1)  (*??)，取n=2，得a=,

        若n≥4，則(*??)無解.

        綜上高考資源網可知，存在直角三形，此時a的值為、、. (18??)