Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=2，由頂點B沿棱柱側面經過棱AA₁到頂點C₁的最短路線與AA₁的交點記為M，求：
（I）三棱柱的側面展開圖的對角線長
（II）該最短路線的長及的值
（III）平面C₁MB與平面ABC所成二面角（銳角）的大小

Answer 1

【答案】分析：（1）正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側面展開圖是長為6，寬為2的矩形，直接可以求出對角線長；
（2）將側面AA₁B₁B繞棱AA₁旋轉120°使其與側面AA₁C₁C在同一平面上，點B運動到點D的位置，連接DC₁交AA₁于M，則DC₁就是由頂點B沿棱柱側面經過棱AA₁到頂點C₁的最短路線，求出DC₁和的值即可；
（3）連接DB，C₁B，可證∠C₁BC就是平面C₁MB與平面ABC所成二面角的平面角，在三角形C₁BC中求出此角．
解答：解：（I）正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側面展開圖是長為6，寬為2的矩形
其對角線長為．

（II）如圖，將側面AA₁B₁B繞棱AA₁旋轉120°使其與側面AA₁C₁C在同一平面上，點B運動到點D的位置，連接DC₁交AA₁于M，則DC₁就是由頂點B沿棱柱側面經過棱AA₁到頂點C₁的最短路線，其長為∵△DMA≌△C₁MA₁，∴AM=A₁M
故

（III）連接DB，C₁B，
則DB就是平面C₁MB與平面ABC的交線在△DCB中，
∵∠DBC=∠CBA+∠ABD=60°+30°=90°，
∴CB⊥DB，
又C₁C⊥平面CBD，
由三垂線定理得C₁B⊥DB，∴∠C₁BC就是平面C₁MB與平面ABC所成二面角的平面角（銳角），
∵側面C₁B₁BC是正方形，∴∠C₁BC=45°，
故平面C₁MB與平面ABC所成的二面角（銳角）為45°．
點評：本小題主要考查直線與平面的位置關系、棱柱等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力．