Question

某縣地處水鄉，縣政府原計劃從今年起填湖圍造一部分生產和生活用地，但根據前幾年抗洪救災得到的經驗教訓和環境保護、生態平衡的要求，準備重新研究修改計劃，為了尋求合理的計劃方案，需要研究以下問題：

(1)若按原計劃填湖造地，水面的減少必然導致蓄水能力的下降，為了保證防洪能力不會下降，除了填湖每畝b元費用外，還需要增加排水設備費用，所需經費與當年所填湖造地面積x(畝)的平方成正比，其比例系數為a，又知每畝地面的年平均收益為c元(其中a、b、c均為常數)，若按原計劃填湖造地，且使得今年的收益不小于支出，試求所填面積x的最大值．

(2)如果以每年1％的速度減少填湖造地的新增面積，并為了保證水面的蓄洪能力和環保要求，填湖造地的總面積永遠不能超過現有水面面積的，求今年填湖造地的面積最多只能占現有水面的百分之幾？

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)收益不少于支出的條件可以表示為cx－(ax²＋bx)≥0．

　　所以ax²＋(b－c)x≤0，x[ax－(c－b)]≤0．

　　當c－b≤0時，，此時不能填湖造地；

　　當c－b＞0時，，此時所填面積的最大值為畝．

　　(2)設該縣的現有水面為m畝，今年填湖造地的面積為x畝，則x＋(1－1％)x＋(1－1％)²x＋…≤，不等式左邊是無窮等比數列的和，故有，即，所以今年填湖造地的面積最多只能占現有水面的0.25％．

　　思路分析：收益不小于支出的含義就是收益與支出的差不小于0，因此本題變成一個解不等式問題，因為本題中都是字母給出的量，所以要對結果進行分類討論．