Question

在△ABC中，a，b，C分別是內角A，B，C所對的邊，并且sinA=2sinBcosC，a=b=2

5

．
（1）求∠A的值；
（2）若點P為線段AB上一點，且

CA

•

CP

=12，求線段AP的長．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的內角和以及誘導公式、兩角和的正弦函數化簡sinA=2sinBcosC，推出sin（B-C）=0，然后求出三角形的形狀，求出∠A的值．
（2）求出

CP

，利用

CA

•

CP

，直接展開，即可求出線段AP的長．

解答：解：（1）∵sinA=sin[180°-（B+C）]=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，
∴cosBsinC=sinBcosC，
sinBcosC-cosBsinC=sin（B-C）=0，
∴∠B-∠C=0或180°，
∵∠B，∠C是三角形的內角，∴∠B-∠C=0
∴∠B=∠C，
即b=c，
又a=b=2

5

，
∴a=b=c，
三角形是等邊三角形，
∴∠A=60°．
（2）∵

CP

=

CA

+

AP

，

CA

•

CP

=12，
∴(

CA

+

AP

)  •

CA

=12
∴

CA

2+

AP

•

CA

=12，
∴|

CA

|2+|

AP

| • |

CA

| cos120°=12，
即(2

5

)2+  |

AP

| •2

5

•(-

1

2

) =12，
整理得|

AP

| =

8 5

5

．

點評：本題是中檔題，考查三角函數的化簡求值，兩角和與差的三角函數，三角方程的解法，向量的數量積，注意向量的夾角與向量的關系，考查計算能力．