Question

18、如圖，設a、b是異面直線，AB是a、b的公垂線，過AB的中點O作平面α與a、b分別平行，M、N分別是a、b上的任意兩點，MN與α交于點P，求證：P是MN的中點．

Answer 1

分析：先連接AN，交平面α于點Q，連接PQ，由于b∥α，b?平面ABN，平面ABN∩α=OQ，根據線面平行的性質定理可知b∥OQ，同理可證得a∥PQ，從而確定點P的位置．

解答：證明：連接AN，交平面α于點Q，連接PQ．
∵b∥α，b?平面ABN，平面ABN∩α=OQ，
∴b∥OQ．又O為AB的中點，
∴Q為AN的中點．∵a∥α，a?平面AMN且平面AMN∩α=PQ，
∴a∥PQ．∴P為MN的中點．

點評：本題主要考查了直線與平面平行的性質，同時考查了對基礎知識的綜合應用能力和基本定理的掌握能力，屬于基礎題．