Question

如圖，已知平面A₁B₁C₁平行于三棱錐V-ABC的底面ABC，等邊△AB₁C所在的平面與底面ABC垂直，且∠ACB=90°，設AC=2a，BC=a
（1）求證直線B₁C₁是異面直線AB₁與A₁C₁的公垂線；
（2）求點A到平面VBC的距離；
（3）求二面角A-VB-C的大小．

Answer 1

分析：（I）由題意及面面垂直平行的性質定理，和直線與直線垂直得到線面垂直，在利用公垂線的定義即可得證；
（II）解法1：有（1）可知BC⊥平面AB₁C，且△AB₁C為正三角形，利用這些就可判斷出線段AD的長即為點A到平面VBC的距離；
解法2：此問還可以利用三棱錐的體積可以進行頂點輪換法求出；
（III）利用三垂線定理，找到二面角的平面角，利用三角形解除二面角的大小．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵平面A₁B₁C₁∥平面ABC，
∴B₁C₁∥BC，B₁C₁∥BC∵BC⊥AC∴B₁C₁⊥A₁C₁
又∵平面AB₁C⊥平面ABC，平面AB₁C∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面AB₁C，
∴BC⊥AB₁
∴B₁C₁⊥AB₁，
又∵B₁C₁∥BC，B₁C₁∥BC，且BC⊥AC∴B₁C₁⊥A₁C₁，
∴B₁C₁為AB₁與A₁C₁的公垂線．

（Ⅱ）解法1：過A作AD⊥B₁C于D，
∵△AB₁C為正三角形，
∴D為B₁C的中點．
∵BC⊥平面AB₁C
∴BC⊥AD，
又B₁C∩BC=C，
∴AD⊥平面VBC，
∴線段AD的長即為點A到平面VBC的距離．
在正△AB₁C中，l．
∴點A到平面VBC的距離為

3

a．
解法2：取AC中點O連接B₁O，則B₁O⊥平面ABC，且B₁O=

3

a．
由（Ⅰ）知BC⊥B₁C，設A到平面VBC的距離為x，
∴VB1-ABC=VA-BB1C，
即

1

3

×

1

2

BC•AC•B1O=

1

3

×

1

2

BC•B1C•x，
解得x=

3

a．
即A到平面VBC的距離為

3

a．
則d=||

AB1

|•cos＜

AB1

，n＞|=||

AB1

|•cos＜

AB1 •n

| AB1 |•|n|

＞|=

2 3 a

2

=

3

a．
所以，A到平面VBC的距離為

3

a．

（III）過D點作DH⊥VB于H，連AH，由三重線定理知AH⊥VB
∴∠AHD是二面角A-VB-C的平面角．
在Rt△AHD中，
DH=

B1D•BC

B1B

=

5

5

a．
∴tan∠AHD=

AD

DH

=

15

．
∴∠AHD=arctan

15

．
所以，二面角A-VB-C的大小為arctan

15

．

點評：（I）抓住題中條件，發揮學生的空間想象能力及理解能力，重點考查了面面垂直的性質定理，還考查了面面平行的性質及兩個異面直線間公垂線的定義；
（II）此問重點考查了線面垂直的判定，還在令解的方法中考查了三棱錐計算體積時常常使用頂點進行輪換的方法（也是常說的等體積輪換法）
（III）此問重點考查了利用三垂線定理找二面角的平面角的常用方法，還考查了求角的大小的反三角函數的表示方法．