Question

已知函數y=（sinx+cosx）²+2cos²x．
（1）求函數f（x）的單調遞增區間．
（2）求f（x）的最小值以及取得最小值時x的集合．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數中的恒等變換可將y=f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x轉化為f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+2，從而可求f（x）的單調遞增區間．
（2）由（1）知f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+2，利用正弦函數的性質可求f（x）的最小值以及取得最小值時x的集合．

解答：解：（1）∵y=（sinx+cosx）²+2cos²x
=1+sin2x+1+cos2x
=

2

sin（2x+

π

4

）+2，
∴由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

得：kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z），
∴函數f（x）的單調遞增區間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）；
（2）∵f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+2，
∴當2x+

π

4

=2kπ-

π

2

，即x=kπ-

3π

8

（k∈Z）時，f（x）取得最小值2-

2

．
即f（x）取得最小值時x的集合為{x|x=kπ-

3π

8

（k∈Z）}．

點評：本題考查三角函數中的恒等變換應用，考查正弦函數的單調性與最值，考查運算能力，屬于中檔題．