Question

設函數f（x）=4sinxsin²（

π

4

+

x

2

）+cos2x（x∈R）．
（1）求函數f（x）的值域；
（2）若對任意x∈[

π

6

，

2π

3

]，都有|f（x）-m|＜2成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用

專題：三角函數的求值

分析：（1）化簡f（x），由三角函數的有界性可得；
（2）由x的范圍可得f（x）的范圍，由恒成立可得m＜[f（x）+2]_min且m＞[f（x）-2]_max，可得答案．

解答： 解：（1）化簡可得f（x）=4sinx•

1-cos( π 2 +x)

2

+cos2x
=2sinx（1+sinx）+1-2sin²x=2sinx+1，
∵x∈R，∴sinx∈[-1，1]，
∴f（x）的值域是[-1，3]
（2）當x∈[

π

6

，

2π

3

]時，sinx∈[

1

2

，1]，∴f（x）∈[2，3]
由|f（x）-m|＜2可得-2＜f（x）-m＜2，
∴f（x）-2＜m＜f（x）+2恒成立．
∴m＜[f（x）+2]_min=4，且m＞[f（x）-2]_max=1．
故m的取值范圍是（1，4）．

點評：本題考查三角函數的恒等變形，涉及恒成立問題，屬中檔題．