Question

已知函數f（x）=log₃（ax+b）的部分圖象如圖所示．
（1）求f（x）的解析式與定義域；
（2）將函數f（x）圖象向左平移

1

2

個單位，再向下平移log₃2個單位得到函數g（x）的圖象，設F(x)=g(

x

9

)g(3x)，求F（x）在[

1

9

，9]上的最值及其相對應的x的值．

Answer 1

分析：（1）由函數圖象上A，B兩點坐標，代入可得a，b的值，代入可得f（x）的解析式，進而根據對數函數真數部分大于0，可得函數的定義域；
（2）根據函數圖象的平移變換法則，可求出函數g（x）的解析式，進而求出F(x)=g(

x

9

)g(3x)的解析式，利用換元法，將其轉化為二次型函數，進而根據二次函數的圖象和性質，可得F（x）在[

1

9

，9]上的最值及其相對應的x的值．

解答：解：（1）由圖象中A、B兩點坐標得

2a+b=3 5a+b=9

，解得

a=2 b=-1

．
故f（x）=log₃（2x-1），定義域為（

1

2

，+∞）．
（2）由題可得g（x）=log3[2(x+

1

2

)-1]-log32=log₃x，∴F(x)=log3(

x

9

)•log3(3x)，
∴F（x）=（log₃x-2）（log₃x+1）=lo

g

2 3

x-log3x-2，
設t=log₃x，x∈[

1

9

，9]，則-2≤t≤2，∴F（x）可轉化為y=t²-t-2（-2≤t≤2），
∴y=(t-

1

2

)2-

9

4

（-2≤t≤2），其對稱軸為t=

1

2

，
∴當t=

1

2

時，ymin=-

9

4

，此時x=

3

；當t=-2時，y_max=4，此時x=

1

9

．
綜上知，當x=

1

9

時，最大值為F(

1

9

)=4，當x=

3

時，最小值為F(

3

)=-

9

4

．

點評：本題考查的知識點是對數函數圖象與性質的綜合應用，熟練掌握對數的運算性質及對數函數的圖象和性質是解答本題的關鍵．