Question

如圖，某人在塔的正東方向上的C處在與塔垂直的水平面內沿南偏西60°的方向以每小時6千米的速度步行了1分鐘以后，在點D處望見塔的底端B在東北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB=α，α的最大值為60°．
（1）求該人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大時，走了幾分鐘；
（2）求塔的高AB．

Answer 1

分析：（1）要順利求解本題，其關鍵是確定沿AB測塔的仰角，其最大仰角在何處達到，該處與塔底間的距離是多少？
（2）求得該距離，則在相應的直角三角形中，就不難求得塔高．

解答：解：（1）依題意知在△DBC中∠BCD=30°，∠DBC=180°-45°=135°
CD=6000×

1

60

=100（m），∠D=180°-135°-30°=15°，------（3分）
由正弦定理得

CD

sin∠DBC

=

BC

sin∠D

∴BC=

CD•sin∠D

sin∠DBC

=

100×sin15°

sin135°

=

100× 6 - 2 4

2 2

=

50( 6 - 2 )

2

=50(

3

-1)（m）-----（6分）
在Rt△ABE中，tanα=

AB

BE

∵AB為定長∴當BE的長最小時，α取最大值60°，這時BE⊥CD----------------（8分）
當BE⊥CD時，在Rt△BEC中EC=BC•cos∠BCE=50(

3

-1)•

3

2

=25(3-

3

)（m），--------------------（9分）
設該人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大時，走了t分鐘，
則t=

EC

6000

×60=

25(3- 3 )

6000

×60=

3- 3

4

（分鐘）----------------------------------（10分）
（2）由（1）知當α取得最大值60°時，BE⊥CD，在Rt△BEC中，BE=BC•sin∠BCD
∴AB=BE•tan60°=BC•sin∠BCD•tan60°=50(

3

-1)•

1

2

•

3

=25(3-

3

)（m）
即所求塔高為25(3-

3

)m．----------------------------------------------（14分）

點評：解本題的關鍵是確定何處測得最大仰角，然后轉化成解三角形問題來解決．