Question

已知函數f（x）=（x-k）e^x．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）求f（x）在區間[1，2]上的最小值；
（3）設g（x）=f（x）+f'（x），當

3

2

≤k≤

5

2

時，對任意x∈[0，1]，都有g（x）≥λ成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導，令導數等于零，解方程，再根據f′（x），f（x）隨x的變化情況，即可求出函數的單調區間；
（2）根據（1），對k-1是否在區間[0，1]內進行討論，從而求得f（x）在區間[0，1]上的最小值；
（3）要使當

3

2

≤k≤

5

2

時，對任意x∈[0，1]，都有g（x）≥λ成立，則有g（x）_min≥λ成立，利用導數求出g（x）_min，即可得到實數λ的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=（x-k+1）e^x，
令f′（x）=0，得x=k-1，
f′（x），f（x）隨x的變化情況如下：

∴f（x）的單調遞減區間是（-∞，k-1），f（x）的單調遞增區間（k-1，+∞）；
（2）當k-1≤1，即k≤2時，函數f（x）在區間[1，2]上單調遞增，
∴f（x）在區間[1，2]上的最小值為f（1）=e-ek；
當1＜k-1＜2，即2＜k＜3時，由（1）知，f（x）在區間[1，k-1]上單調遞減，f（x）在區間（k-1，2]上單調遞增，
∴f（x）在區間[1，2]上的最小值為f（k-1）=-e^k-1；
當k-1≥2，即k≥3時，函數f（x）在區間[1，2]上單調遞減，
∴f（x）在區間[1，2]上的最小值為f（2）=（2-k）e²；
綜上所述，當k≤2時，f（x）的最小值為（1-k）e；
當k≥3時，f（x）的最小值為（2-k）e²；
當2＜k＜3時，f（x）的最小值為-e^k-1；（8分）
∴f（x）_min=

e-ek k≤2 -ek-1 2＜k＜3 (2-k)e2 k≥3

．
（3）g（x）=f（x）+f'（x）=（2x-2k+1）e^x
∴g′（x）=（2x-2k+3）e^x
當

3

2

≤k≤

5

2

時，對任意x∈[0，

2k-3

2

），g′（x）＜0，x∈（

2k-3

2

，1]，g′（x）＞0，
∴g（x）在[0，

2k-3

2

]上單調減，在（

2k-3

2

，1]上單調增，
∴g（x）_min=g（

2k-3

2

）=-2e

2k-3

2

要使當

3

2

≤k≤

5

2

時，對任意x∈[0，1]，都有g（x）≥λ成立，則有g（x）_min≥λ成立，
∴實數λ的取值范圍為λ≤-2e

2k-3

2

．（12分）

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性和在閉區間上的最值問題，對方程f'（x）=0根是否在區間[0，1]內進行討論，體現了分類討論的思想方法，屬于中檔題．