Question

定義：區間[x₂，x₁]（x₁＜x₂）的長度為x₂-x₁．已知函數y=|log_0.5x|定義域為[a，b]，值域為[0，2]，則區間[a，b]長度的最小值為

 

．

Answer 1

分析：根據對數函數的值域確定定義域的取值范圍即可得到結論．

解答：解：∵y=f（x）=|log_0.5x|，
∴f（1）=0，即1∈[a，b]，
由|log_0.5x|=2得log_0.5x=2或log_0.5x=-2，
解得x=

1

4

，或x=4．
∵y=|log_0.5x|定義域為[a，b]，值域為[0，2]，
∴當a=

1

4

時，1≤b≤4，
當b=4時，

1

4

≤a≤1，
∴當a=

1

4

時，b=1時，區間長度最小為1-

1

4

=

3

4

．
故答案為：

3

4

．

點評：本題主要考查函數定義域和值域的應用，利用對數函數的圖象和性質是解決本題的關鍵．