Question

已知雙曲線C的方程為＝1(a＞0，b＞0)，離心率e＝．

(1)求雙曲線C的漸近線方程；

(2)若A、B分別是兩漸近線上的點，AB是位于第一、四象限間的動弦，△AOB的面積為定值，且雙曲線C過AB的一個三等分點P，試求雙曲線C的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)＝a2＋b2b2＝b＝． 　　∴雙曲線＝1的漸近線方程為y＝±＝±． 　　(2)令漸近線y＝的傾斜角為α，如下圖： 　　則tanα＝， 　　sin2α＝2sinαcosα 　　＝． 　　可令A(2t1，3t1)，B(2t2，－3t2)．|OA|＝，|OB|＝． 　　∴S△AOB＝|OA|·|OB|·sin2α 　　＝··＝6t1t2． 　　又∵S△AOB＝，∴t1t2＝． 　　由＝2P()， 　　即P(，t1－2t2)． 　　又由b2＝知雙曲線C：＝1，即為x2－＝a2． 　　∵P在雙曲線C上． 　　()2－(t1－2t2)2＝a2(t1＋2t2)2－(t1－2t2)2＝8t1t2＝． 　　又∵t1t2＝， 　　∴a2＝4， 　　∴雙曲線C的方程為＝1．