Question

已知f（x）=xlnx．
（1）求函數f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）已知2

1

x

＞xa對任意x∈（0，1）恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）證明：對一切x∈（0，+∞），都有lnx＞

1

ex

-

2

ex

成立．

Answer 1

分析：（1）對函數求導，根據導函數與0的關系寫出函數的單調性和區間，討論所給的區間和求出的單調區間之間的關系，在不同條件下做出函數的最值．
（2）根據兩個函數的不等關系恒成立，先求出兩個函數的最值，利用最值思想解決，主要看兩個函數的最大值和最小值之間的關系，得到結果．
（3）要證明不等式成立，問題等價于證明xlnx＞

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))．由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是-

1

e

，構造新函數，得到結論．

解答：解：（1）f′（x）=lnx+1，…（1分）
當x∈(0，

1

e

)，f′(x)＜0，f(x)單調遞減，當x∈(

1

e

，+∞)，f′(x)＞0，f(x)單調遞增  …（2分）
①當0＜t＜

1

e

時，t+2＞

1

e

f(x)min=f(

1

e

)=-

1

e

；        …（3分）
②當

1

e

≤t＜t+2，即t≥

1

e

時，f（x）在[t，t+2]上單調遞增，
f（x）_min=f（t）=tlnt； …（4分）
所以f(x)min=

- 1 e ，0＜t＜ 1 e . tlnt，t≥ 1 e

…（5分）
（2）在2

1

x

＞xa兩邊取對數得

1

x

ln2＞alnx，…（6分）
由于0＜x＜1，所以

a

ln2

＞

1

xlnx

，…（7分）
令g(x)=

1

xlnx

，由（1）可知，當x∈（0，1）時，g(x)≤gmax(x)≤g(

1

e

)=-e（8分）
所以

a

ln2

＞-e，即a＞-eln2．    …（9分）
（3）問題等價于證明xlnx＞

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))，…（10分）
由（1）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是-

1

e

，當且僅當x=

1

e

時取到，（11分）
設m(x)=

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))，則m′(x)=

1-x

ex

，…（12分）
易知m(x)max=m(1)=-

1

e

，當且僅當x=1時取到，…（13分）
從而對一切x∈（0，+∞），都有lnx＞

1

ex

-

2

ex

成立．           …（14分）

點評：本題考查利用導數研究函數的最值，利用最值解決函數的恒成立思想，不同解題的關鍵是構造新函數，利用新函數的性質解決問題．