Question

某小區想利用一矩形空地建市民健身廣場，設計時決定保留空地邊上的一水塘（如圖中陰影部分），水塘可近似看作一個等腰直角三角形，其中，，且中，，經測量得到．為保證安全同時考慮美觀，健身廣場周圍準備加設一個保護欄．設計時經過點作一直線交于，從而得到五邊形的市民健身廣場，設．
（1）將五邊形的面積表示為的函數；
（2）當為何值時，市民健身廣場的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

（1）；（2）當時，到的市民健身廣場面積最大，最大面積為.

解析試題分析：（1）根據題意分析可考慮作，垂足為，從而可將五邊形的面積轉化為梯形與矩形的面積之和，由∽結合條件，可將梯形的上底，下底與高以及矩形的長和寬都用含的代數式表示出來，從而可得：，再由，可得；（2）由（1）及條件可知，問題就等價于求函數在上的最大值，而將其變形后可得：
，
當且僅當時，“=”成立，從而當時，到的市民健身廣場面積最大，最大面積為.
試題解析：（1）如圖，作，垂足為，
∵，∴，又由∽，∴，
∵，∴，     2分
過作交于，
則，
所以，          7分
由于與重合時，適合條件，故；   8分

（2）由（1）得：，       10分
∴當且僅當，即時，取得最大值，    13分
即當時，得到的市民健身廣場面積最大，最大面積為．     14分
考點：1.函數的運用；2.基本不等式求最值.