Question

已知函數f（x）=

log 1 2 x  (x≥1) (x-1)2 (x＜1)

的反函數為f^-1（x），在（-∞，1）∪（1，+∞）上的導函數為f′（x），則f^-1（4）+f′（-1）=（　　）

• A、-6
• B、1
• C、-1
• D、-5

Answer 1

分析：分別求出函數的導數，以及根據反函數的性質即可得到結論．

解答：解：當x＜1時，f（x）=（x-1）²，則f'（x）=2（x-1），
∴f'（-1）=2（-1-1）=-4，
∵函數f（x）的反函數為f^-1（x），
∴等價為f（x）=4的解，
∵當x≥1時，f（x）≤0，此時方程f（x）=4無解，
當x＜1時，由f（x）=4得：
（x-1）²=4，
解得x-1=-2，即x=-1，
∴f^-1（4）=-1．
∴則f^-1（4）+f′（-1）=-1-4=-5．
故選：D．

點評：本題主要考查分段函數的應用，根據導數和反函數的定義進行求值是解決本題的關鍵．