Question

把正方形ABCD沿對角線AC折起，當以A，B，C，D四點為頂點的三棱錐體積最大時，直線BD和平面ABC所成的角的正弦值為

2

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．

Answer 1

分析：欲使得三棱錐體積最大，因為三棱錐底面積一定，只須三棱錐的高最大即可，即當平面BAC⊥平面DAC時，三棱錐體積最大，從而可得直線BD和平面ABC所成的角的正弦值．

解答：解：如圖，當平面BAC⊥平面DAC時，三棱錐體積最大
取AC的中點E，則BE⊥平面DAC，
故直線BD和平面ABC所成的角為∠DBE
∵BE=ED
∴∠DBE=45°
∴sin∠DBE=

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故答案為：

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點評：本題考查空間中直線與平面之間的位置關系，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．