Question

設二次方程a_nx²-a_n+1x+1=0（n=1，2，3，…）有兩根α、β，且滿足6α-2αβ+6β=3．
（1）試用a_n表示a_n+1；
（2）求證：{a_n-}是等比數列；
（3）當a₁=時，求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

(1)根據根與系數的關系，有關系式
代入已知條件6(α+β)-2αβ=3，得-=3．
∴a_n+1=a_n+．
(2)由于a_n+1=a_n+，改寫為_an+1-=(a_n-)．
故{a_n-}是等比數列．
(3)當a₁=時，a₁-=．
故{a_n-}是以為首項，以為公比的等比數列．
∴a_n=+()ⁿ，n=1，2，3，…，
即數列{a_n}的通項公式是a_n=+()ⁿ，n=1，2，3，…．

這是有關數列、二次方程的根與系數關系的綜合題．根據題目條件列出等量關系，找到遞推關系即可求解．