Question

已知a_n=log_（n+1）（n+2）（n∈N^*）．我們把使乘積a₁?a₂?a₃?…?a_n為整數的數n叫做“優數”，則在區間（1，2004）內的所有優數的和為（　　）

• A、1024
• B、2003
• C、2026
• D、2048

Answer 1

分析：根據換底公式logab=

logcb

logca

，把a_n=log_（n+1）（n+2）代入a₁•a₂…a_n并且化簡，轉化為log₂（n+2），
由log₂（n+2）為整數，即n+2=2^m，m∈N^*，令m=1，2，3，…，10，可求得區間[1，2004]內的所有優數的和．

解答：解：由換底公式：logab=

logcb

logca

．
∴a₁•a₂•a₃•…•a_n
=log₂3•log₃4…log_（n+1）（n+2）
=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

…

lg(n+2)

lg(n+1)

=

lg(n+2)

lg2

=log₂（n+2），
∵log₂（n+2）為整數，
∴n+2=2^m，m∈N^*．
n分別可取2²-2，2³-2，2⁴-2，最大值2^m-2≤2004，m最大可取10，
故和為2²+2³++2¹⁰-18=2026．
故選：C．

點評：本題了對數的換底公式，考查了數列和的求法，把a₁•a₂…a_n化簡轉化為對數的運算是解答的關鍵，體現了轉化的思想，屬中檔題．