Question

已知函數f(x)=

x+1-a

a-x

(a∈R)，
（1）證明函數y=f（x）的圖象關于點（a，-1）成中心對稱圖形；
（2）當x∈[a+1，a+2]時，求證：f（x）∈[-2，-

3

2

]；
（3）我們利用函數y=f（x）構造一個數列{x_n}，方法如下：對于給定的定義域中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…在上述構造數列的過程中，如果xi（i=2，3，4，…）在定義域中，構造數列的過程將繼續下去；如果x_i不在定義域中，則構造數列的過程停止．
（i）如果可以用上述方法構造出一個常數列{x_n}，求實數a的取值范圍；
（ii）如果取定義域中任一值作為x₁，都可以用上述方法構造出一個無窮數列{x_n}，求實數a的值．

Answer 1

分析：（1）設出P為函數上任意一點，然后將P的坐標代入已知函數，寫出P關于（a，-1）的對稱點P'（2a-x₀，-2-y₀）．然后代入f（x）進行驗證關于（a，-1）成中心對稱圖形．
（2）根據（1）的結論，把f（x）代入題目，然后驗證[f(x)+2][f(x)+

3

2

]≤0即可證明
（3）（i）根據題意，把f（x）=x有解轉化為△＞0或△=0兩種情況，并進行分析．
    （ii）當x≠a時，（1+a）x=a²+a-1無解，此時即可求出a的值．

解答：解：（1）設P（x_o，y_o）是函數y=f（x）圖象上一點，則y_o=

xo+1-a

a-xo

，
點P關于（a，-1）的對稱點P'（2a-x₀，-2-y₀）．
∵f(2a-xo)=

2a-x0+1-a

a-2a+x0

=

a-x0+1

x0-a

，-2-yo=

a-x0+1

x0-a

∴-2-y₀=f（2a-x₀）．即P′點在函數y=f（x）的圖象上．
所以，函數y=f（x）的圖象關于點（a，-1）成中心對稱圖形.(2)∵[f(x)+2][f(x)+

3

2

]=

a-x+1

a-x

•

a+2-x

2(a-x)

=

(x-a-1)(x-a-2)

2(a-x)2

．
又x∈[a+1，a+2]，∴（x-a-1）（x-a-2）≤0.2（a-x）²＞0，
∴[f(x)+2][f(x)+

3

2

]≤0，∴-2≤f(x)≤-

3

2

．

（3）（i）根據題意，只需x≠a時，f（x）=x有解.即

x+1-a

a-x

=x有解，
即x²+（1-a）x+1-a=0有不等于a的解
．∴①△＞0或②△=0并且x≠a，
①由△＞0得a＜-3或a＞1，②由△=0得a=-3或a=1，
此時，x分別為-2或0．符合題意．綜上，a≤-3或a≥1．
（ii）根據題意，知：x≠a時，

x+1-a

a-x

=a無解，
即x≠a時，（1+a）x=a2+a-1無解，由于x=a不是方程（1+a）x=a2+a-1的解，
所以，對于任意x∈R．（1+a）x=a²+a-1無解．∴a=-1．

點評：本題考查函數模型的選擇與應用，通過對實際問題的分析，構造數學模型從而解決問題．本題需要把點P關于（a，-1）的對稱點P'（2a-x₀，-2-y₀）代入函數．進行化簡．并注明取值范圍．需要對知識熟練的掌握并應用，屬于基礎題．