Question

對于定義在實數集上的兩個函數，若存在一次函數使得，對任意的，都有，則把函數的圖像叫函數的“分界線”。現已知（，為自然對數的底數），

（1）求的遞增區間；

（2）當時，函數是否存在過點的“分界線”？若存在，求出函數的解析式，若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）①若，則，此時的遞增區間為；

②若，則或，此時的遞增區間為；

③若，則的遞增區間為；

④若，則或，此時的遞增區間為。

（2）存在函數的圖像是函數過點的“分界線”

【解析】

試題分析：解：（1），

由得

①若，則，此時的遞增區間為；

②若，則或，此時的遞增區間為；

③若，則的遞增區間為；

④若，則或，此時的遞增區間為。

（2）當時，，假設存在實數，使不等式對恒成立，由得到對恒成立， 則，得，

下面證明對恒成立。

設，，，

且時，，，

時，，

所以，即對恒成立。

綜上，存在函數的圖像是函數過點的“分界線”。

考點：導數的運用

點評：主要是考查了導數在研究函數中的運用，求解函數單調性，以及導數幾何意義的運用，屬于中檔題。