Question

若a，b∈R⁺且a+b=1，則(1+

1

a

)(1+

1

b

)的最小值為

9

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，利用a+b=1，代換則(1+

1

a

)(1+

1

b

)中分子上的“1”，變形可得則(1+

1

a

)(1+

1

b

)=5+2（

b

a

+

a

b

），由基本不等式可得

b

a

+

a

b

≥2，將其代入(1+

1

a

)(1+

1

b

)=5+2（

b

a

+

a

b

）中，可得(1+

1

a

)(1+

1

b

)的最小值，即可得答案．

解答：解：由題意a+b=1，
則(1+

1

a

)(1+

1

b

)=（1+

a+b

a

）（1+

a+b

b

）=（2+

b

a

）（2+

a

b

）=5+2（

b

a

+

a

b

），
又由a，b∈R⁺，則

b

a

＞0、

a

b

＞0，
則

b

a

+

a

b

≥2

b a • a b

=2，
(1+

1

a

)(1+

1

b

)=5+2（

b

a

+

a

b

）≥9，其最小值為9，
故答案為9．

點評：本題考查基本不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)題意，配湊基本不等式成立的條件，一正二定三相等．