Question

某企業為了適應市場要求，計劃從2011年起，在每月固定投資5萬元的基礎上，元月份追加投資6萬元，以后每月的追加投資額均為之前幾個月投資總和的20%，但每月追加部分的最高限額為10萬元，記第個月的投資額為a_n（萬元）．
（1）求a_n與n的關系式；
（2）預計2011年全年共需投資多少萬元？
（精確到0.01，參考數據：1.2²=1.44，1.2³≈1.73，1.2⁴≈2.07，1.2⁵≈2.49，1.2⁶≈2.99）

Answer 1

解：（1）2011年1月，共投資a₁=5+6萬元，
2011年2月，共投資a₂=5+a₁×20%=5+（5+6）×20%萬元，
2011年3月，共投資a₃=5+[a₁+a₂]×20%=5+[5+6+5+（5+6）×20%]×20%萬元，
∴a_n=5+s_n-1×20%，其中s_n-1×20%≤10；
由a_n=s_n-s_n-1=5+s_n-1×20%，得5s_n-5s_n-1=25+s_n-1，
∴5s_n-6s_n-1=25，即5[s_n+25]=6[s_n-1+25]，
∴s_n+25=（s₁+25）•=（a₁+25）•=36×，
∴s_n=-25+36×，∴s_n-1=-25+36×；
∴a_n=5+s_n-1×20%=5+[-25+36×]×=6×；
∵s_n-1×20%≤10，∴s_n-1≤50，即-25+36×≤50，得n=N=3，
當n≤N=3時，a_n=6×，其中a₁=11；
當n＞N=3時，a_n=5+10=15；
（2）2011年全年的投資為：
s₁₂=a₁+a₂+a₃+（a₄+a₅+…+a₁₂）=11+6×（）+6×+9×15=11+++135=146+=161.84萬元
分析：（1）2011年1月共投資a₁萬元，2月共投資a₂萬元，3月共投資a₃萬元，由此可推得a_n；再由a_n=s_n-s_n-1，可得s_n的解析式，從而得s_n-1、a_n的解析式；
（2）2011年全年共需投資為s₁₂=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+…+a₁₂，計算結果即可．
點評：本題考查了由遞推公式求數列通項的應用問題以及求數列前n項和的問題，解題時也可以直接求出數列{a_n}的每一項，然后求和．