Question

【題目】設函數y=f （x），對任意實數x，y都有f （x+y）=f （x）+f （y）+2xy．
（1）求f （0）的值；
（2）若f （1）=1，求f （2），f （3），f （4）的值；
（3）在（2）的條件下，猜想f （n）（n∈N*）的表達式并用數學歸納法證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0）+2×0×0，得f（0）=0．
（2）解：由f（1）=1，得f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）+2×1×1=4．

f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）+2×2×1=9．f（4）=f（3+1）=f（3）+f（1）+2×3×1=16

（3）解：由（2）可猜想f（n）=n2，

用數學歸納法證明：

（i）當n=1時，f（1）=12=1顯然成立．

（ii）假設當n=k時，命題成立，即f（k）=k2，

則當n=k+1時，f（k+1）=f（k）+f（1）+2×k×1=k2+1+2k=（k+1）2，

故當n=k+1時命題也成立，

由（i），（ii）可得，對一切n∈N*都有f（n）=n2成立

【解析】（1）利用特殊值法判斷即可；（2）根據條件，逐步代入求解；（3）猜想結論，根據數學歸納法的證明步驟證明．
【考點精析】掌握數學歸納法的定義是解答本題的根本，需要知道數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法．