Question

過點P（a，b）作兩條直線l₁，l₂，斜率分別為1，-1，已知l₁與圓O1：(x+2)2+(y-2)2=2交于不同的兩點A，B，l₂與圓O2：(x-3)2+(y-4)2=2交于不同的兩點C，D，且|AB|=|CD|．
（Ⅰ）求：a，b所滿足的約束條件；
（Ⅱ）求：

a2-b2

a2+b2

的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據題意，直線l₁、l₂方程為x-y-a+b=0、x+y-a-b=0．由兩圓半徑相等且|AB|=|CD|，得到兩圓圓心O₁、O₂到直線l₁、l₂的距離相等，根據點到直線的距離公式建立關于a、b的等式，化簡即得a、b所滿足的約束條件；
（II）根據直線的斜率公式，得k=

b

a

表示點P與原點連線的斜率，所以

a2-b2

a2+b2

=-1+

2

1+k2

，由（I）的結論得到k²∈（

121

49

，+∞），代入即可得到

a2-b2

a2+b2

∈（-1，-

36

85

）．最后根據a=0時

a2-b2

a2+b2

=-1，即得

a2-b2

a2+b2

的取值范圍是[-1，-

36

85

)．

解答：解：（1）∵圓O1：(x+2)2+(y-2)2=2和圓O2：(x-3)2+(y-4)2=2的
圓心分別為O₁（-2，2）、O₂（3，4），半徑都等于

2

∴當且僅當O₁、O₂到直線l₁、l₂的距離相等時，|AB|=|CD|．
設直線l₁方程為x-y-a+b=0，直線l₂方程為x+y-a-b=0
可得

|-2-2-a+b|

2

=

|3+4-a-b|

2

，即|a-b+4|=|a+b-7|
化簡得a-b+4=a+b-7或a-b+4=-（a+b-7）
即b=

11

2

或a=

3

2

∵直線l₁、l₂分別與圓O₁、O₂相交，可得

|-2-2-a+b|

2

＜

2

且

|3+4-a-b|

2

＜

2

，即|a-b+4|＜2且|a+b-7|＜2
∴當b=

11

2

時，-

1

2

＜a＜

7

2

； 當a=

3

2

時，

7

2

＜b＜

15

2

可得a、b所滿足的約束條件為：b=

11

2

（-

1

2

＜a＜

7

2

），a=

3

2

（

7

2

＜b＜

15

2

）
（II）設k=

b

a

表示點P與原點連線的斜率，
可得當b=

11

2

，-

1

2

＜a＜

7

2

時，k∈（-∞，-11）∪（

11

7

，+∞）；
當a=

3

2

，

7

2

＜b＜

15

2

時，k∈（

7

3

，5）
∴k²∈（

121

49

，+∞）
∵

a2-b2

a2+b2

=

1-k2

1+k2

=-1+

2

1+k2

，∴

a2-b2

a2+b2

∈（-1，-

36

85

）
結合當a=0，b=

11

2

時，

a2-b2

a2+b2

=-1，得

a2-b2

a2+b2

的取值范圍是[-1，-

36

85

)．

點評：本題給出經過點P的兩條垂直直線被兩圓截得的弦長相等，求點P坐標滿足的約束條件，并依此求一個式子的值域．著重考查了直線與圓的位置關系、斜率公式和函數值域的求法等知識，屬于中檔題．