Question

已知函數(shù)，函數(shù)．

(I)試求f(x)的單調(diào)區(qū)間。

(II)若f(x)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍：

(III)設(shè)數(shù)列是公差為1．首項(xiàng)為l的等差數(shù)列，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：當(dāng)時(shí)，.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的單調(diào)遞增區(qū)間是；的單調(diào)遞減區(qū)間是；

（Ⅱ）.（Ⅲ）見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ） 利用導(dǎo)數(shù)值非負(fù)，得的單調(diào)遞增區(qū)間是；利用導(dǎo)數(shù)值非正，得到的單調(diào)遞減區(qū)間是；

（Ⅱ）利用在是單調(diào)遞增函數(shù)，則恒成立，只需恒成立，轉(zhuǎn)化成

，利用，得到.

（Ⅲ）依題意不難得到，=1+++，

根據(jù)時(shí)， =+在上為增函數(shù)，

可得，從而;

構(gòu)造函數(shù)，利用“導(dǎo)數(shù)法”得到, 從而不等式成立.

應(yīng)用“累加法”證得不等式.

本題解答思路比較明確，考查方法較多，是一道相當(dāng)?shù)湫偷念}目.

試題解析：（Ⅰ）=，所以，,

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014031604540053327851/SYS201403160500399238757051_DA.files/image024.png">，，所以，令，，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間是；的單調(diào)遞減區(qū)間是；4分

（Ⅱ）若在是單調(diào)遞增函數(shù)，則恒成立，即恒成立

即，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014031604540053327851/SYS201403160500399238757051_DA.files/image005.png">，所以故.                .7分

（Ⅲ）設(shè)數(shù)列是公差為1首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，所以，=1+++，

當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）知：=+在上為增函數(shù)，

=-1，當(dāng)時(shí)，，所以+，即

所以;

令，則有，當(dāng)，有

則,即,所以時(shí),

所以不等式成立.

令且時(shí)，

將所得各不等式相加，得

即

（且）．                   13分

考點(diǎn)：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，“累加法”.