Question

規定A_x^m=x（x-1）…（x-m+1），其中x∈R，m為正整數，且A_x⁰=1，這是排列數A_n^m（n，m是正整數，且m≤n）的一種推廣．
（1）求A_-15³的值；
（2）排列數的兩個性質：①A_n^m=nA_n-1^m-1，②A_n^m+mA_n^m-1=A_n+1^m．（其中m，n是正整數）是否都能推廣到A_x^m（x∈R，m是正整數）的情形？若能推廣，寫出推廣的形式并給予證明；若不能，則說明理由；
（3）確定函數A_x³的單調區間．

Answer 1

分析：（1）根據A_x^m=x（x-1）…（x-m+1），其中x∈R，m為正整數，寫出A_-15³的表示式，再做出結果，做法同一般的排列數相同．
（2）首先寫出推廣以后的性質，A_x^m=xA_x-1^m-1，②A_x^m+mA_x^m-1=A_x+1^m（x∈R，m∈N₊），針對于這兩個式子進行證明，根據排列數的意義，寫出要證明的等式的左邊和右邊，整理后兩邊相等．
（3）要求函數A_x³的單調區間，寫出排列數的表示形式，是一個三次函數，需要對這個函數求導，令導函數大于零，得到函數的增區間，令導函數小于零，得到函數的減區間．

解答：解：（1）A_-15³=（-15）（-16）（-17）=-4080；
（2）性質①、②均可推廣，推廣的形式分別是：
①A_x^m=xA_x-1^m-1，②A_x^m+mA_x^m-1=A_x+1^m（x∈R，m∈N₊）
事實上，在①中，當m=1時，左邊=A_x¹=x，右邊=xA_x-1⁰=x，等式成立；
當m≥2時，左邊=x（x-1）（x-2）（x-m+1）=x[（x-1）（x-2）（（x-1）-（m-1）+1）]=xA_x-1^m-1，
因此，①A_x^m=xA_x-1^m-1成立；
在②中，當m=1時，左邊=A_x¹+A_x⁰=x+1=A_x+1¹=右邊，等式成立；
當m≥2時，
左邊=x（x-1）（x-2）（x-m+1）+mx（x-1）（x-2）（x-m+2）
=x（x-1）（x-2）（x-m+2）[（x-m+1）+m]=（x+1）x（x-1）（x-2）[（x+1）-m+1]=A_x+1^m=右邊，
因此②A_x^m+mA_x^m-1=A_x+1^m（x∈R，m∈N₊）成立．
（3）先求導數，得（A_x³）^/=3x²-6x+2．
令3x²-6x+2＞0，解得x＜

3- 3

3

或x＞

3+ 3

3

．
因此，當x∈(-∞，

3- 3

3

)時，函數為增函數，
當x∈(

3+ 3

3

，+∞)時，函數也為增函數．
令3x²-6x+2＜0，解得

3- 3

3

＜x＜

3+ 3

3

．
因此，當x∈(

3- 3

3

，

3+ 3

3

)時，函數為減函數．
∴函數A_x³的增區間為(-∞，

3- 3

3

)，(

3+ 3

3

，+∞)
函數A_x³的減區間為(

3- 3

3

，

3+ 3

3

)

點評：本題考查排列數公式，考查新定義問題，考查對于等式的證明，考查利用導函數求函數的單調區間，考查解決問題的能力和運算能力，是一個綜合題目．