Question

已知a∈R，且以下命題都為真命題：
命題p：實系數一元二次方程x²+ax+2=0的兩根都是虛數；
命題q：存在復數z同時滿足|z|=2且|z+a|=1．
求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：x²+ax+2=0的兩根都是虛數，說明該方程在實數范圍內無實根，復數模通常考慮其幾何意義解題．

解答：解：由命題p為真，可得△=a2-8＜0?a∈(-2

2

，2

2

)；
又x²+y²=4表示以（0，0）為圓心，以2為半徑的圓；
而（x+a）²+y²=1是以（-a，0）為圓心，以1為半徑的圓．
由命題q為真，可知復平面上的圓x²+y²=4和圓（x+a）²+y²=1有公共交點，
所以，實數a∈[-3，-1]∪[1，3]，
故兩個命題同時為真的實數的取值范圍是a∈(-2

2

，-1]∪[1，2

2

)．

點評：實系數一元二次方程ax²+bx+c=0的兩根都是虛數時，則方程無實根，即判別式△＜0．注意端點值的取舍．