Question

平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點M（1，-3）、N（5，1），若點C滿足

OC

=t

OM

+（1-t）

ON

（t∈R），點C的軌跡與拋物線：y²=4x交于A、B兩點．
（Ⅰ）求證：

OA

⊥

OB

；
（Ⅱ）在x軸上是否存在一點P（m，0）（m∈R），使得過P點的直線交拋物線于D、E兩點，并以該弦DE為直徑的圓都過原點．若存在，請求出m的值及圓心的軌跡方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）欲證兩向量垂直，通過向量的坐標運算，就是證明它們的數量積為0，將直線與拋物線的方程組成方程組，利用設而不求的
方法求解；
（2）對于存在性問題，可設假設存在，本題中將垂直關系合理轉化，找出m的一個相等關系，從而解出了m的值，即說明存在．

解答：解：（Ⅰ）解：由

OC

=t

OM

+（1-t）

ON

（t∈R），知點C的軌跡是M、N兩點所在的直線，
故點C的軌跡方程是：即y=x-4．
由得x²-12x+16=0．
∴x₁x₂=16，x₁+x₂=12
∴y₁y₂=（x₁-4）（x₂-4）=x₁x₂-4（x₁+x₂）+16=-16
∴x₁x₂+y₁y₂=0   故

OA

⊥

OB

．
（Ⅱ）解：由題意知：弦所在的直線的斜率不為零．故設弦所在的直線方程為：x=ky+m，
代入 y²=4x 得 y²-4ky-4m=0，∴y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4m．
若以弦DE為直徑的圓都過原點，則OD⊥OE，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
即

y 2 1

4

+

y 2 2

4

+y1y2=m²-4m，解得m=0 （不合題意，舍去）或 m=4．
∴存在點P（4，0），使得過P點任作拋物線的一條弦，以該弦為直徑的圓都過原點．
設弦AB的中點為M（x，y）  則x=（x₁+x₂），y=（ y₁+y₂），
x₁+x₂=ky₁+4+ky₂+4=k（y₁+y₂）+8=4k²+8，
∴弦AB的中點M的軌跡方程為：
消去k得：y²=2x-8．
∴圓心的軌跡方程為y²=2x-8．

點評：對于存在判斷型問題，解題的策略一般為先假設存在，然后轉化為“封閉型”問題求解判斷，若不出現矛盾，則肯定存在；若出現矛盾，則否定存在．這是一種最常用也是最基本的方法．本題根據拋物線的定義，結合焦點三角形，引出矛盾，從而問題得解．解圓錐曲線的中點弦問題的一般方法是：聯立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數的關系、中點坐標公式及參數法求解．