Question

已知函數(shù)，（）

（1）若函數(shù)存在極值點，求實數(shù)b的取值范圍；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）當且時，令，()，()為曲線y=上的兩動點，O為坐標原點，能否使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上？請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）當時，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；

當時，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為。

（3）對任意給定的正實數(shù)，曲線上總存在兩點，使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ），若存在極值點，則有兩個不相等實數(shù)根。所以，              2分

解得               3分

(Ⅱ)               4分

當時，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；       5分

當時，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為。

7分

（Ⅲ） 當且時，假設(shè)使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上。則且。     8分

不妨設(shè)。故，則。，該方程有解          9分

當時，則，代入方程得即，而此方程無實數(shù)解；              10分

當時，則；         11分

當時，則，代入方程得即，               12分

設(shè)，則在上恒成立。在上單調(diào)遞增，從而，則值域為。

當時，方程有解，即方程有解。     13分

綜上所述，對任意給定的正實數(shù)，曲線上總存在兩點，使得是以O(shè)為直角頂點的直角三角形，且斜邊中點在y軸上。           14分

考點：導(dǎo)數(shù)的運用

點評：主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)與方程思想的綜合運用，屬于中檔題。