Question

(10分)如圖，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點.
（1）求證：MN//平面PAD
（2）求證：MN⊥CD
（3）若∠PDA=45°，求證：MN⊥平面PCD.

Answer 1

證明：（1）如圖，取PD的中點E，連結AE、EN則有EN//CD//AB//AM，
且EN=CD=AB=MA.

∴四邊形AMNE是平行四邊形.
∴MN//AE.
∵AE平面PAD，MN平面PAD，
∴MN//平面PAD. …………3分
（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB.
又AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD.
∴AB⊥AE，即AB⊥MN.又CD//AB，
∴MN⊥CD. …………6分
（3）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD.
又∠PAD=45°，E是PD中點，
∴AE⊥PD，即MN⊥PD.
又MN⊥CD，∴MN⊥平面PCD.…………10分

略