Question

【題目】已知，且，且，函數.

（1）設，，若是奇函數，求的值；

（2）設，，判斷函數在上的單調性并加以證明；

（3）設，，，函數的圖象是否關于某垂直于軸的直線對稱？如果是，求出該對稱軸，如果不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）對稱軸為，理由見解析.

【解析】

（1）根據已知條件，將代入函數的解析式，得出，利用奇函數的定義，可求出實數的值；

（2）判斷出函數和函數的單調性，然后利用函數單調性的運算法則，可判斷出函數的單調性，然后利用函數單調性的定義加以證明；

（3）根據函數圖象的對稱軸為直線，得出對任意的實數恒成立，即可求出實數的值.

（1）由已知，，，由于函數為奇函數，

則對任意的恒成立，，因此，；

（2）當時，函數為增函數，函數為減函數，

又，所以，函數在上是增函數，

下面利用定義來證明出函數的單調性.

任取，則，

，，即，又，，

，，所以，，即.

因此，函數在上是增函數；

（3），若函數的圖象是軸對稱圖形，且對稱軸為直線，

則，，

即，即，

即對任意的恒成立，，即，

因此，.