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在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是正三角形，側棱垂直于底面，若AB=

BB₁，則AB₁與C₁B所成的角的大小為（　　）

A．60°

B．90°

C．105°

D．75°

分析：設BB₁=1，則AB=

，將向量分解得

AB1

BB1

，

C1B

C1C

，結合題意算出數量積

AB1

•

C1B

=0，得到

AB1

⊥

C1B

，從而得出異面直線AB₁與C₁B所成的角的大小為90°．

解答：解：如圖，設BB₁=1，則AB=

，

∵正三角形ABC中，∴∠ABC=60°
可得

AB1

•

C1B

=（

BB1

）•（

C1C

）
=

•

C1C

BB1

•

C1C

•

BB1

•

=0-1+|

|•|

|cos60°+0=-1+

•

cos60°=-1+1=0
因此，

AB1

⊥

C1B

，可得異面直線AB₁與C₁B所成的角的大小為90°
故選：B

點評：本題給出特殊的正三棱柱，求異面直線所成角的大小．著重考查了正三棱柱的性質、利用空間向量研究異面直線所成角的大小等知識，屬于中檔題．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的三視圖如圖所示，其中主視圖AA₁B₁B和左視圖B₁BCC₁均為矩形，在俯視圖△A₁B₁C₁中，A₁C₁=3，A₁B₁=5，cos∠A1=

．
（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求證：BC⊥AC₁；
（2）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若D是底邊AB的中點，求證：AC₁∥平面CDB₁．
（3）若三棱柱的高為5，求三視圖中左視圖的面積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖：在正三棱柱ABC-A₁ B₁ C₁中，AB=

AA1

=a，E，F分別是BB₁，CC₁上的點且BE=a，CF=2a．
（Ⅰ）求證：面AEF⊥面ACF；
（Ⅱ）求三棱錐A₁-AEF的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AC=AA₁=

，BC=4，在A₁在底面ABC的投影是線段BC的中點O．
（1）求點C到平面A₁ABB₁的距離；
（2）求二面角A-BC₁-B₁的余弦值；
（3）若M，N分別為直線AA₁，B₁C上動點，求MN的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•江西）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AC=AA₁=

，BC=4，在A₁在底面ABC的投影是線段BC的中點O．
（1）證明在側棱AA₁上存在一點E，使得OE⊥平面BB₁C₁C，并求出AE的長；
（2）求平面A₁B₁C與平面BB₁C₁C夾角的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•北京）如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是邊長為4的正方形．平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5．
（Ⅰ）求證：AA₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求證二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值；
（Ⅲ）證明：在線段BC₁上存在點D，使得AD⊥A₁B，并求

BC1

的值．

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