Question

（本小題滿分14分）

已知函數是奇函數，且滿足

(Ⅰ)求實數、的值；

（Ⅱ）試證明函數在區間單調遞減，在區間單調遞增；

（Ⅲ）是否存在實數同時滿足以下兩個條件：①不等式對恒成立；

②方程在上有解．若存在，試求出實數的取值范圍，若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：(Ⅰ) 由得，解得．  ………………1分

由為奇函數，得對恒成立，

即，所以．  ………………3分

（Ⅱ）由(Ⅰ)知，．

任取，且，

，  …………………5分

∵，∴，，，

∴，

所以，函數在區間單調遞減．  ……………7分

類似地，可證在區間單調遞增．  ……………8分

（Ⅲ）對于條件①：由（Ⅱ）可知函數在上有最小值

故若對恒成立，則需，則，

……………10分

對于條件②：由（Ⅱ）可知函數在單調遞增，在單調遞減，

∴函數在單調遞增，在單調遞減，又，，，所以函數在上的值域為

若方程在有解，則需．……12分

若同時滿足條件①②，則需，所以 

答：當時，條件①②同時滿足．……………14分

 

【解析】略