Question

14、如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，D、E分別為BC、B₁C的中點．
（1）求證：DE∥平面ABB₁A₁；
（2）求證：平面ADE⊥平面B₁BC．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位線的性質證明線面平行．
（2）利用直三棱柱的性質證明BB₁⊥AD，利用等腰三角形的性質證明AD⊥BC，從而證明AD⊥平面B₁BC．

解答：證明：（1）在△CBB₁中，
∵D、E分別為BC、B₁C的中點，
∴DE∥BB₁（4分）
又∵BB₁?平面ABB₁A₁，DE?平面ABB₁A₁
∴所以DE∥平面ABB₁A₁．  （7分）
（2）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，BB₁⊥平面ABC，∵AD?平面ABC，
∴BB₁⊥AD     （9分）
∵在△ABC中，AB=AC，D為BC的中點，
∴AD⊥BC   （11分）
∵BB₁∩BC=B，BB₁、BC?平面B₁BC，
∴AD⊥平面B₁BC．
又∵AD?平面ADE
∴平面ADE⊥平面B₁BC．   （14分）

點評：本題考查面面垂直的判定和性質．