Question

定義F(x，y)＝(1＋x)^y，x，y∈(0，＋∞)．

(1)令函數f(x)＝F(1，log₂(x³＋ax²＋bx＋1))的圖象為曲線C，若存在實數b使得曲線C在x₀(－4＜x₀＜－1)處有斜率為－8的切線，求實數a的取值范圍；

(2)令函數g(x)＝F(1，log₂[(lnx－1)e^x＋x])，是否存在實數x₀∈[1，e]，使曲線y＝g(x)在點x＝x₀處的切線與y軸垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，請說明理由；

(3)當x，y∈N*，且x＜y時，求證：F(x，y)＞F(y，x)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)f(x)＝F(1，log2(x3＋ax2＋bx＋1))＝x3＋ax2＋bx＋1，設曲線C在x0(－4＜x0＜－1)處有斜率為－8的切線， 　　又由題設知log2(x3＋ax2＋bx＋1)＞0，令(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，則(x)＝3x2＋2ax＋b， 　　∴存在實數b使得有解．　3分 　　由①得b＝－8－3x02－2ax0，代入③得－2x02－ax0－8＜0， 　　∴由有解， 　　得2×(－4)2＋a×(－4)＋8＞0或2×(－1)2＋a×(－1)＋8＞0， 　　∴a＜10或a＜10，∴a＜10．　5分 　　(2)∵g(x)＝(lnx－1)ex＋x， 　　∴ 　　．……6分 　　設，則． 　　當x∈[1，e]時，h′(x)≥0，h(x)為增函數， 　　因此h(x)在區間[1，e]上的最小值為ln1＝0，即； 　　當x0∈[1，e]時，≥e＞0，＋lnx0－1≥0， 　　∴．　8分 　　曲線y＝g(x)在點x＝x0處的切線與y軸垂直等價于方程(x0)＝0有實數解． 　　而(x0)＞0，即方程(x0)＝0無實數解． 　　故不存在實數x0∈[1，e]，使曲線y＝g(x)在點x＝x0處的切線與y軸垂直．　9分 　　(3)令，由． 　　又令，∴， 　　∴p(x)在[0，＋∞)上單調遞減，∴當x＞0時，有p(x)＜p(0)＝0， 　　∴當x≥1時，有(x)＜0，∴h(x)在[1，＋∞)上單調遞減， 　　∴當1≤x＜y時，有， 　　∴yln(1＋x)＞xln(1＋y)，∴(1＋x)y＞(1＋y)x， 　　∴當x，y∈N*，且x＜y時，F(x，y)＞F(y，x)．　13分