Question

設(shè)△ABC的三個內(nèi)角A、B、C對的邊分別為a、b、c且a²+b²=mc²（m為常數(shù)），若tanC（tanA+tanB）=2tanAtanB，則實數(shù)m的值為

2

．

Answer 1

分析：由已知的等式通過切化弦，可得sinAsinBcosC=

1

2

sin²C，然后根據(jù)正弦定理化簡得出2abcosC=

1

2

c²，再由余弦定理求出cosC代入化簡，即可求出m的值．

解答：解：∵tanC（tanA+tanB）=2tanAtanB
∴

tanA•tanB

tanA+tanB

=

1

2

tanC即

sinA•sinB

sinAcosB+cosAsinB

=

sinC

2cosC

可以得出sinAsinBcosC=sinC•sin（A+B）=

1

2

sin²C
根據(jù)正弦定理上式可化簡為：2abcosC=

1

2

c²  ①
根據(jù)余弦定理可知cosC=

a2+b2-c2

2ab

   ②
由①②得a²+b²=2c²
∵a²+b²=mc²
∴m=2
故答案為：m=2

點評：本題考查正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．