Question

已知x、y是正變數，a、b是正常數，且

a

x

+

b

y

=1，x+y的最小值為

a+b+2

ab

．

Answer 1

分析：根據

a

x

+

b

y

=1，可假設

a

x

=cos²θ，

b

y

=sin²θ，則x=asec²θ，y=bcsc²θ，，從而將x+y轉化為a+b+atan²θ+bcot²θ，進而可利用基本不等式，求出最小值．

解答：解：令

a

x

=cos²θ，

b

y

=sin²θ，則x=asec²θ，y=bcsc²θ，
∴x+y=asec²θ+bcsc²θ=a+b+atan²θ+bcot²θ≥a+b+2

atan2θ•bcot2θ

=a+b+2

ab

．
故答案為：a+b+2

ab

點評：本題以等式為載體，考查基本不等式的運用，解題的關鍵是三角換元．