Question

用n種不同顏色為下側兩塊廣告牌著色（如圖甲、乙所示），要求在①、②、③、④四個區域中相鄰（有公共邊界）的區域不用同一種顏色．
（1）若n=6，為甲著色時共有多少種不同方法？
（2）若為乙著色時共有120種不同方法，求n．

Answer 1

解：（1）完成著色這件事，共分四個步驟，即依次考慮為①、②、③、④著色時各自的方法數，
為①著色有6種方法，
為②著色有5種方法，
為③著色有4種方法，
為④著色也只有4種方法．
∴共有著色方法6×5×4×4=480種．
（2） 與（1）的區別在于與④相鄰的區域由兩塊變成了三塊，
同理，不同的著色方法數是n（n-1）（n-2）（n-3）．
由n（n-1）（n-2）（n-3）=120
∴（n²-3n）（n²-3n+2）-120=0，
即（n²-3n）²+2（n²-3n）-12×10=0，
∴n²-3n-10=0，
∴n=5．
分析：（1）根據題意，分分四個步驟來完成著色，即依次考慮為①、②、③、④著色時各自的方法數，由乘法原理計算可得答案．
（2）分析與（1）的不同，其區別在于與④相鄰的區域由兩塊變成了三塊，由（1）的思路可得，n（n-1）（n-2）（n-3）=120；計算可得答案．
點評：本題考查涂色問題，是排列、組合的典型題目，一般涉及分類加法原理與分步乘法原理，注意認真分析題意，把握好限制條件．