Question

我們在下面的表格內填寫數值，先將第1行的所有空格填上1，再把一個首項為1，公比為q的等比數列{a_n}依次填入第一列的空格內，然后按照“任意一格的數是它上面一格的數與它左邊一格的數之和”的規則填寫其他空格．

	第1列	第2列	第3列	…	第n列
第1行	1	1	1	…	1
第2行	q
第3行	q2
…	…
第n行	qn-1

（Ⅰ）設第2行的數依次為b₁，b₂，b₃，…，b_n，試用n、q表示b₁+b₂+b₃+…+b_n的值；
（Ⅱ）設第3列的數依次為c₁，c₂，c₃，…，c_n，求證：對于任意非零實數q，總有c_m-1+c_m+1＞2c_m成立（其中2≤m≤n-1且m為偶數）；
（Ⅲ）能否找到一個實數q的值，使得填完表格后，除第1列外，還有不同的兩列數的前三項各自依次成等比數列？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據“任意一格的數是它上面一格的數與它左邊一格的數之和”的規則，寫出b₁、b₂、b₃的表達式，從而歸納出b_n=（n-1）+q，利用等差數列前n項和公式即可算出用n、q表示b₁+b₂+b₃+…+b_n的式子；
（2）由題意，根據c₁、c₂、c₃的表達式，歸納出c_n用n、q表示的式子．將c_m-1+c_m+1與2c_m作差，化簡整理得  c_m-1+c_m+1-2c_m=q^m＞0，從而得到對于任意非零實數q，總有c_m-1+c_m+1＞2c_m成立；
（3）若第k+1列的前三項成等比數列，則由等比中項的定義列式可解出q=

1-k

2

，同理當第m+1列的前三項成等比數列時，有q=

1-m

2

成立．由k≠m可得以上兩個式子不能同時成立，因此無論怎樣的q都不能同時找出除1列外的其他兩列，使它們的前三項都成等比數列．

解答：解：（Ⅰ）∵b₁=q，b₂=1+q，b₃=1+（1+q）=2+q，…，b_n=（n-1）+q
∴b₁+b₂+…+b_n=1+2+…+（n-1）+nq=

n(n-1)

2

+nq…（3分）
（Ⅱ）c₁=1，c₂=1+（1+q）=2+q，c₃=（2+q）+（1+q+q²）=3+2q+q²，…，
c_n=n+（n-1）q+（ n-2）q²+…+2q^n-2+q^n-1．
∵c_m-1+c_m+1-2c_m=[（m-1）+（m-2）q+（m-3）q²+…+2q^m-3+q^m-2]+
[（m+1）+mq+（m-1）q²+…+2q^m-1+q^m]-2[m+（m-1）q+（m-2）q²+…+2q^m-2+q^m-1]=q^m
∴結合q為非零實數且m為偶數，可得q^m＞0，從而得到c_m-1+c_m+1＞2c_m         …（6分）
（Ⅲ）設x₁，x₂，x₃和y₁，y₂，y₃分別為第k+1列和第m+1列的前三項，1≤k＜m≤n-1，
則x₁=1，x₂=k+q，x₃=（1+2+…+k）+kq+q²=

k(k+1)

2

+kq+q²
若第k+1列的前三項x₁，x₂，x₃是等比數列，則x₁x₃=x₂²
∴

k(k+1)

2

+kq+q2=(k+q)2即

k2-k

2

+kq=0，解得q=

1-k

2

同理，若第m+1列的前三項y₁，y₂，y₃是等比數列，則q=

1-m

2

∵當k≠m時，

1-k

2

≠

1-m

2

∴無論怎樣的q，都不能同時找出除1列外的其他兩列，使它們的前三項都成等比數列  …（10分）

點評：本題給出關于數列的二維表格，求第二行的第n項的通項公式并求前n項和，求第三列的通項滿足的條件并討論第k列的前三項成等比的問題．著重考查了等比數列的通項公式、前n項和公式、不等式的證明與數列的應用等知識點，屬于中檔題．