Question

已知函數f（x）=

x

x-2

．
（1）判斷函數f（x）在（-2，2）上的單調性，并用單調性的定義加以證明；
（2）求函數f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）設-2＜x₁＜x₂＜2，通過作差可判斷f（x₁）與f（x₂）的大小，根據函數單調性的定義可作出判斷；
（2）由（1）可知函數f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上的單調性，利用單調性可求得函數的最值，從而可得值域；

解答：解：（1）函數f（x）在（-2，2）上是減函數．
證明：設-2＜x₁＜x₂＜2，f（x₁）-f（x₂）=

x1

x1-2

-

x2

x2-2

=

2(x2-x1)

(x1-2)(x2-2)

，
∵-2＜x₁＜x₂＜2，∴x₂-x₁＞0，x₁-2＜0，x₂-2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函數f（x）在（-2，2）上是減函數．
（2）由（1）知函數f（x）在（-2，2）上是減函數，
所以函數f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上也是減函數，故函數的最大值為f（-

1

2

）=

1

5

，最小值為f（

1

2

）=-

1

3

，
所以函數f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上的值域為[-

1

3

，

1

5

]．

點評：本題考查函數單調性的判斷及證明、應用單調性求函數的最值，屬基礎題，熟練掌握單調性的證明是解決問題的基礎．