Question

（2008•佛山二模）函數f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的圖象上一個最高點的坐標為(

π

12

，3)，與之相鄰的一個最低點的坐標為(

7π

12

，-1)．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）求f（x）在x=

π

6

處的切線方程．

Answer 1

分析：（I）根據三角函數周期的公式，算得ω=2．由圖象上的最大、最小值的點組成方程組，解出A=2，B=1．最后根據函數的最大值點代入，結合|?|＜

π

2

可得φ=

π

3

，從而得出f（x）的表達式；
（II）由導數的運算公式與法則，得所求切線的斜率k=f′(

π

6

)=-2，而當x=

π

6

時函數值f(

π

6

)=

3

+1，利用直線的點斜式方程列式，化簡整理即可得到f（x）在x=

π

6

處的切線方程．

解答：解：（Ⅰ）依題意，得

T

2

=

7π

12

-

π

12

=

π

2

，所以T=π，
∴ω=

2π

T

=2…（1分）
又∵

A+B=3 -A+B=-1

，∴解之得

A=2 B=1

…（3分）
再把(

π

12

，3)代入f（x）=2sin（2x+φ）+1，
可得sin(

π

6

+?)=1，所以

π

6

+?=2kπ+

π

2

（k∈Z），
所以?=2kπ+

π

3

，
因為|?|＜

π

2

，所以取k=0得?=

π

3

…（5分）
綜上所述，f（x）的表達式為：f(x)=2sin(2x+

π

3

)+1…（6分）
（Ⅱ）因為f（x）的導數為f′(x)=4cos(2x+

π

3

)…（8分）
∴所求切線的斜率k=f′(

π

6

)=4cos(2×

π

6

+

π

3

)=4cos

2π

3

=-2…（9分）
而f(

π

6

)=2sin(2×

π

6

+

π

3

)+1=2sin

2π

3

+1=

3

+1…（10分）
∴f（x）在x=

π

6

處的切線方程為y-(

3

+1)=-2(x-

π

6

)
化簡，得6x+3y-3

3

-3-π=0…（12分）

點評：本題給出y=Asin（ωx+φ）的部分圖象，要求確定其解析式并求圖象上某點處的切線方程，著重考查了三角函數的圖象與性質和導數的幾何意義等知識，屬于中檔題．