Question

已知拋擲一枚質地不均勻的硬幣拋擲三次，三次正面均朝上的概率為

1

27

．
（Ⅰ）求拋擲這樣的硬幣三次，恰有兩次正面朝上的概率；
（Ⅱ）拋擲這樣的硬幣三次后，拋擲一枚質地均勻的硬幣一次，記四次拋擲后正面朝上的總次數為ξ，求隨機變量ξ的分布列及期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）由硬幣拋擲三次，三次正面均朝上的概率為

1

27

，設出擲一次這樣的硬幣，正面朝上的概率為r，由獨立重復試驗公式列出方程，解方程得到r的值．再由獨立重復試驗公式得到結果．
（2）拋擲一枚質地均勻的硬幣四次拋擲后正面朝上的總次數為ξ，由題意知ξ的可能取值是0、1、2、3、4，根據獨立重復試驗公式得到結果，寫出分布列，算出期望．

解答：（Ⅰ）解：設擲一次這樣的硬幣，正面朝上的概率為r，
則依題意有：

C

3 3

•r3=

1

27

．
可得r=

1

3

．
∴拋擲這樣的硬幣三次，恰有兩次正面朝上的概率為
P=

C

2 3

×(

1

3

)2×

2

3

=

2

9

．
（Ⅱ）解：隨機變量ξ的可能取值為0，1，2，3，4．
P(ξ=0)=

C

0 3

×(

2

3

)3×

1

2

=

4

27

；
P(ξ=1)=

C

0 3

×(

2

3

)3×

1

2

+

C

1 3

×

1

3

×(

2

3

)2×

1

2

=

10

27

；
P(ξ=2)=

C

1 3

×

1

3

×(

2

3

)2×

1

2

+

C

2 3

×(

1

3

)2×

2

3

×

1

2

=

9

27

；
P(ξ=3)=

C

2 3

×(

1

3

)2×

2

3

×

1

2

+

C

3 3

×(

1

3

)3×

1

2

=

7

54

；
P(ξ=4)=

C

3 3

×(

1

3

)3×

1

2

=

1

54

．
∴隨機變量ξ的分布列為

∴Eξ=0×

4

27

+1×

10

27

+2×

9

27

+3×

7

54

+4×

1

54

=

3

2

．

點評：這是近幾年高考常考的題目，期望是概率和數理統計的重要概念之一，是反映隨機變量取值分布的特征數，學習期望將為今后學習概率統計知識做鋪墊．