Question

函數f（x）=x³+ax²-bx+c，a，b，c∈R，已知方程f（x）=0有三個實根x₁，x₂，x₃，即f（x）=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）
（1）求x₁+x₂+x₃，x₁x₂+x₂x₃+x₁x₃和x₁x₂x₃的值．（結果用a，b，c表示）
（2）若a∈Z，b∈Z且|b|＜2，f（x）在x=α，x=β處取得極值且-1＜α＜0＜β＜1，試求此方程三個根兩兩不等時c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知，x³+ax²-bx+c=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃），比較兩邊系數，即得結果；
（2）由已知f′（x）=3x²+2ax-b=0有兩個不等的實根α，β，因為-1＜α＜0＜β＜1，根據實根分布，列出關于c的不等關系，解之得此方程三個根兩兩不等時c的取值范圍．

解答：解：（1）由已知，x³+ax²-bx+c=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃），
比較兩邊系數，得x₁+x₂+x₃=-a，x₁x₂+x₂x₃+x₃x₁=-b，x₁x₂x₃=-c．
（2）由已知f′（x）=3x²+2ax-b=0有兩個不等的實根α，β，
因為-1＜α＜0＜β＜1，由實根分布，則

3+2a-b＞0 -b＜0 3-2a-b＞0

由b∈Z，|b|＜2，b＞0，則b=1．
再代入上述不等式，
又有：2a＞-2，2a＜2，且a∈Z，
∴a=0，
所以f′（x）=3x²-1
則α=-

3

3

，β=

3

3

，
且f（x）在x=-

3

3

處取得極大值x=

3

3

取得極小值，
故f（x）=0要有三個不等根，則必須

f(- 3 3 )＞0 f( 3 3 )＜0

即：

(- 3 3 )3-(- 3 3 )+c＞0 ( 3 3 )3- 3 3 +c＜0

，⇒

c＞- 2 3 9 c＜ 2 3 9

解得-

2 3

9

＜c＜

2 3

9

．
∴此方程三個根兩兩不等時c的取值范圍是：-

2 3

9

＜c＜

2 3

9

．

點評：本小題主要考查函數在某點取得極值的條件、一元二次方程的根的分布與系數的關系、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．