Question

如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點.

   （1）證明PA//平面BDE；    

   （2）求二面角B—DE—C的平面角的余弦值；

   （3）在棱PB上是否存在點F，使PB⊥平面DEF？證明你的結論.

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）（Ⅲ）存在

解析:

（1）以D為坐標原點，分別以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設PD=DC=2，則A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），…………2分

B（2，2，0）   

設 是平面BDE的一個法向量，

則由       ………………4分

∵    …………5分

（2）由（Ⅰ）知是平面BDE的一個法向量，又是平面DEC的一個法向量.                                       ………………7分

設二面角B—DE—C的平面角為，由圖可知

∴

故二面角B—DE—C的余弦值為           ………………10分

（3）∵

∴

假設棱PB上存在點F，使PB⊥平面DEF，設，

則，

由       ………………13分

∴            ………………14分

即在棱PB上存在點F，PB，使得PB⊥平面DEF                    ………………15分

用幾何法證明酌情給分