Question

設函數f(x)=lg(

2

x+1

-1)的定義域為集合A，函數g(x)=

1-a2-2ax-x2

的定義域為集合B．
（1）求證：函數f（x）的圖象關于原點成中心對稱．
（2）a≥2是A∩B=Φ的什么條件（充分非必要條件、必要非充分條件、充要條件、既非充分也非必要條件）？并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由

2

x+1

-1＞0，可求得A=（-1，1），f（x）的定義域關于原點對稱，利用奇函數的定義可判斷f（-x）=-f（x）；
（2）由于B=[-1-a，1-a]，當a≥2時，-1-a≤-3，1-a≤-1，可證得A∩B=∅，反之，可取-a-1=2，求得a=-3，于是得到答案．

解答：證明：（1）∵

2

x+1

-1＞0，
∴

x-1

x+1

＜0，…（1分）
∴-1＜x＜1…（3分）
∴A=（-1，1），
故f（x）的定義域關于原點對稱…（4分）
又f（x）=lg

1-x

x+1

，則 f（-x）=lg

1+x

-x+1

=lg(

1-x

x+1

)-1=-lg

1-x

x+1

，…（6分）
∴f（x）是奇函數．
即函數f（x）的圖象關于原點成中心對稱…（7分）
（2）∵B={x|x²+2ax-1+a²≤0}，
∴-1-a≤x≤1-a，即B=[-1-a，1-a]…（9分）
當a≥2時，-1-a≤-3，1-a≤-1，
由A=（-1，1），B=[-1-a，1-a]，有A∩B=∅…（10分）
反之，若A∩B=∅，可取-a-1=2，則a=-3，a小于2…（11分）
所以，a≥2是A∩B=∅的充分非必要條件…（12分）

點評：本題考查必要條件、充分條件與充要條件的判斷，考查對數函數的定義域，函數的奇偶性，著重考查學生綜合分析問題、解決問題的能力，屬于難題．